Giải bài tập Bài 7.25 trang 59 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Kết nối tri thức
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 7.25 trang 59 Toán 11 Tập 2. Bài 26: Khoảng cách. Toán 11 - Kết nối tri thức
Đề bài:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh a.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC)và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Vì AA' // CC' và AA' = CC' (do chúng cùng song song và bằng BB') nên AA'C'C là hình bình hành, suy ra AC // A'C' do đó A'C' // (D'AC).
Vì AB // C'D' và AB = C'D' (do chúng cùng song song và bằng CD) nên ABC'D' là hình bình hành, suy ra BC' // AD' do đó BC' // (D'AC).
Vì A'C' // (D'AC) và BC' // (D'AC) nên (BC'A') // (D'AC).
Vì ABCD là hình vuông nên ACBD.
Vì BB'(ABCD) nên BB'AC mà ACBD nên AC(BB'D), suy ra ACDB'.
Vì AC // A'C' mà ACDB' nên A'C'DB'.
Do AD(ABB'A') nên ADA'B.
Vì ABB'A' là hình vuông nên AB' A'B mà AD A'B nên A'B (ADB').
Suy ra A'B DB'.
Có A'C' DB' và A'B DB' nên DB' (BC'A').
Vì A'D' // BC và A'D' = BC (do chúng cùng song song và bằng AD) nên A'D'CB là hình bình hành, suy ra A'B // D'C mà A'B DB' nên D'C DB'.
Có AC DB' và D'C DB' nên DB' (D'AC).
b) Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'.
Trong mặt phẳng (BDD'B'), có DB' D'O = E. Khi đó DB' (D'AC) = E.
Trong mặt phẳng (BDD'B'), có DB' BO' = F. Khi đó DB' (BC'A') = F.
Vì (BC'A') // (D'AC) nên d((D'AC), (BC'A')) = d(E, (BC'A')) = EF (vì DB' (BC'A')).
Vì DB' (BC'A') nên DB' BO' và DB' (D'AC) nên DB' D'O, suy ra BO' // D'O.
Xét tam giác DBF, có OE // BF nên theo định lí Ta lét, ta có: 
Xét tam giác B'D'E có O'F // D'E nên theo định lí Ta lét, ta có: 
Do đó B'F = EF = DE 
.
Xét tam giác BCD vuông tại C, có 
Xét tam giác B'BD vuông tại B, có 
Vậy 
.
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao