Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản | Cánh Diều

Giải phương trình:

a) ;

b) ;

c) ;

d) 2cos3x + 5 = 3;

e) ;

g) .

Giải phương trình:

a) $\sin \left(2\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\mathrm{sinx}$

b) $\sin 2\mathrm{x}=\cos 3\mathrm{x}$

c) ${\cos }^{2}2\mathrm{x}={\cos }^2\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$

Dùng đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 3sinx + 2 = 0 trên khoảng $\left(-\frac{5\mathrm{\pi }}{2};\frac{5\mathrm{\pi }}{2}\right)$

b) cosx = 0 trên đoạn $\left[-\frac{5\mathrm{\pi }}{2};\frac{5\mathrm{\pi }}{2}\right]$

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $\mathrm{d}\left(\mathrm{t}\right)=3\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{182}\left(\mathrm{t}-80\right)\right)+12$ với $\mathrm{t}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và 0 < t ≤ 365.

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020)

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 38). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t ≥ 0) bởi hệ thức h = |d| với $\mathrm{d}=3\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\left(2\mathrm{t}-1\right)\right)$, trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m, 0 m?

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức h = 550 + 450cos$\frac{\mathrm{\pi }}{50}$t (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km; 250 km; 100 km?

Trên thực tế, có nhiều bài toán dẫn đến việc giải một trong các phương trình có dạng: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m, trong đó x là ẩn số, m là số thực cho trước. Các phương trình đó là các phương trình lượng giác cơ bản.

Cho hai phương trình (với cùng ẩn x):

x² ‒ 3x + 2 = 0 (1)

(x – 1)(x – 2) = 0 (2)

a) Tìm tập nghiệm S₁ của phương trình (1) và tập nghiệm S₂ của phương trình (2).

b) Hai tập S₁, S₂ có bằng nhau hay không?

Hai phương trình x – 1 = 0 và $\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{\mathrm{x}+1}$ = 0 có tương đương không? Vì sao?

Khẳng định 3x ‒ 6 = 0 $\iff$ 3x = 6 đúng hay sai?

Giải phương trình: (x – 1)² = 5x – 11.

a) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm A₀, B_0­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm A₀, B_0­.

b) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm A₁, B_1­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm A₁, B_1­.

a) Giải phương trình: ;

b) Tìm góc lượng giác x sao cho sinx = sin55°.

Giải phương trình sin2x = sin(x + $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$).

a) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm C₀, D_0­ (Hình 34). Tìm hoành độ của hai giao điểm C₀, D_0­.

b) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm C₁, D_1­ (Hình 34). Tìm hoành độ của hai giao điểm C₁, D_1­.

a) Giải phương trình: cosx = $-\frac{1}{2}$.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho cosx = cos(‒87°).

Giải phương trình được nêu trong bài toán mở đầu.

Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 (Hình 35).

a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 trên khoảng $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$, hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.

b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình tanx = 1?

a) Giải phương trình: tanx = 0.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho tanx = tan67°.

Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = ‒1 (Hình 36).

a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = ‒1 trên khoảng (0; π), hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.

b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình cotx = ‒1?

a) Giải phương trình: cotx = 1.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho cotx = cot(‒83°).

Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):

a) sinx = 0,2;

b) ;

c) .