Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song | Cánh Diều

Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) luôn song song với (Q). Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao?

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A’, B’, C, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.

Cho tứ diện ABCD. Lấy G₁, G₂, G₃ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng (G₁G₂G₃) // (BCD).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G₁G₂G₃) với mặt phẳng (ABD).

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC).

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính $\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{NC}}$.

Trong cuộc sống, chúng ta bắt gặp rất nhiều đồ dùng, vật thể gợi nên hình ảnh của các mặt phẳng song song, chẳng hạn như giá để đồ (Hình 58).

Làm thế nào để nhận ra được hai mặt phẳng song song? Hai mặt phẳng song song thì có tính chất gì?  

Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).

Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có bao nhiêu điểm chung? Các điểm chung đó có tính chất gì?

Nêu ví dụ trong thực tiễn minh hoạ hình ảnh hai mặt phẳng song song.

Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) (Hình 61). Hai mặt phẳng (P) và (Q) có điểm chung hay không?

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P, I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB, AM, AN, AP. Chứng minh rằng (IJK) // (BCD).

Cho mặt phẳng (Q) và điểm M nằm ngoài mặt phẳng (Q).

a) Trong mặt phẳng (Q) vẽ hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau. Qua điểm M kẻ các đường thẳng a và b lần lượt song song với a’, b’. Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng (cắt nhau) a và b (Hình 63). Mặt phẳng (P) có song song với mặt phẳng (Q) hay không?

b) Xét mặt phẳng (R) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q). Hai mặt phẳng (R) và (P) có trùng nhau hay không?

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a.

a) Mặt phẳng (R) có cắt mặt phẳng (Q) hay không? Tại sao?

b) Trong trường hợp mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến b, hãy nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai giao tuyến a và b (Hình 64).

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a cắt hai mặt phẳng trên theo thứ tự tại A, B. Đường thẳng b song song với đường thẳng a và cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại A’, B’. Chứng minh rằng AB = A’B’.

Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R). Hai cát tuyến bất kì a và a’ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B₁ là giao điểm của AC’ với mặt phẳng (Q) (Hình 66).

a) Nêu vị trí tương đối của BB₁ và CC’; B₁B’ và AA’.

b) Có nhận xét gì về các tỉ số: $\frac{\mathrm{AB}}{{\mathrm{AB}}_1}, \frac{\mathrm{BC}}{{\mathrm{B}}_1\mathrm{C}\text{'}}$ và $\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{A}}; \frac{{\mathrm{AB}}_1}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}; \frac{{\mathrm{B}}_1\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$ và $\frac{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{A}}{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{A}\text{'}}$.

c) Từ kết quả câu a) và câu b), so sánh các tỉ số $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}; \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$ và $\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{A}\text{'}}$.

Bạn Minh cho rằng: Nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$.

Phát biểu của bạn Minh có đúng không? Vì sao?