Giải bài tập Bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

a) $\mathrm{y}=\frac{2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}-1}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

Có $\mathrm{y}=\frac{2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}-1}=2\mathrm{x}+1+\frac{5}{\mathrm{x}-1}$

+) Có $\mathrm{y}\text{'}=2-\frac{5}{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}; \mathrm{y}\text{'}=0\iff 2-\frac{5}{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}=0\iff \mathrm{x}=\frac{2-\sqrt{10}}{2} \mathrm{hoặc} \mathrm{x}=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$

+) Trên các khoảng $\left(-\infty ; \frac{2-\sqrt{10}}{2}\right) \mathrm{và} \left(\frac{2+\sqrt{10}}{2}; +\infty \right)$, có y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng $\left(\frac{2-\sqrt{10}}{2}; 1\right) \mathrm{và} \left(1; \frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)$, có y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

+) Hàm số đạt cực cực đại tại $\mathrm{x}=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ và đạt cực tiểu tại $\mathrm{x}=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$

+) $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}-1}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{2-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}+{\displaystyle \frac{4}{{\mathrm{x}}^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}}=-\infty$

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}-1}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{2-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}+{\displaystyle \frac{4}{{\mathrm{x}}^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}}=+\infty$

+) Tiệm cận 

$\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}-1}=+\infty ; \underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\frac{2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}-1}=-\infty$

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left[\mathrm{y}-\left(2\mathrm{x}+1\right)\right]=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{5}{\mathrm{x}-1}=0; \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\left[\mathrm{y}-\left(2\mathrm{x}+1\right)\right]=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{5}{\mathrm{x}-1}=0$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = 2x +1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; −4).

+) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+3}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{−3}.

2. Sự biến thiên

Có $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+3}=\mathrm{x}-1+\frac{4}{\mathrm{x}+3}$

+) Có $\mathrm{y}\text{'}=1-\frac{4}{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}; \mathrm{y}\text{'}=0\iff 1-\frac{4}{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}=0\iff {\left(\mathrm{x}+3\right)}^2=4\iff$

+) Trên các khoảng (−∞; −5) và (−1; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng (−5; −3) và (−3; −1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

+) Hàm số đạt cực đại tại x = −5 với y_CĐ = −8; hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 với y_CT = 0.

+) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+3}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2\left(1+{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{x}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}\right)}{\mathrm{x}\left(1+{\displaystyle \frac{3}{\mathrm{x}}}\right)}=+\infty$

$\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+3}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2\left(1+{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{x}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}\right)}{\mathrm{x}\left(1+{\displaystyle \frac{3}{\mathrm{x}}}\right)}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{\mathrm{x}\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+3}=+\infty ; \underset{\mathrm{x}\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+3}=-\infty$

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left[\mathrm{y}-\left(\mathrm{x}-1\right)\right]=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{4}{\mathrm{x}+3}=0; \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\left[\mathrm{y}-\left(\mathrm{x}-1\right)\right]=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{4}{\mathrm{x}+3}=0$

Do đó x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là $\left(0; \frac{1}{3}\right)$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (−1; 0).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−3; −4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.