Giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 2. | Kết Nối Tri Thức

Bài 2.25 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}+\overrightarrow{\mathrm{DG}}=\overrightarrow{0}$

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=3\overrightarrow{\mathrm{AG}}$

C. $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}=3\overrightarrow{\mathrm{BG}}$

D. $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}$

Bài 2.26 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC'. Vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ bằng

A. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}$

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}$

C. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}$

D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}$

Bài 2.27 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}\text{'}}$

B. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}\text{'}}$

C. $\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}\text{'}}$

D. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}\text{'}}$

Bài 2.28 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ bằng

A. $\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}$

B. $\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}$

C. $\frac{{\mathrm{a}}^2}{3}$

D. ${\mathrm{a}}^2$

Bài 2.29 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(1; -2; 2\right), \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(-2; 0; 3\right)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(-1; -2; 5\right)$

B. $\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(3; -2; -1\right)$

C. $3\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(3; -2; 2\right)$

D. $2\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(0; -4; 7\right)$

Bài 2.30 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A(−1; 0; 3), B(2; 1; −1) và C(3; 2; 2). Tọa độ của điểm D là:

A. (2; -1; 0)

B. (0; -1; -6)

C. (0; 1; 6)

D. (-2; 1; 0)

Bài 2.31 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; −1), B(0; −1; 2) và G(2; 1; 0). Biết tam giác ABC có trọng tâm là điểm G. Tọa độ của điểm C là

A. (5; 4; -1)

B. (-5; -4; 1)

C. (1; 2; -1)

D. (-1; -2; 1)

Bài 2.32 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(2; 1; -3\right), \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(-2; -1; 2\right)$. Tích vô hướng bằng $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}$

A. -2

B. -11

C. 11

D. 2

Bài 2.33 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(2; 1; -2\right), \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(0; -1; 1\right)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$ bằng

A. 60°.                  

B. 135°.                 

C. 120°.                 

D. 45°.

Bài 2.34 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(-2; 2; 2\right), \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(1; -1; -2\right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$ bằng

A. $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{-\sqrt{2}}{3}$

Bài 2.35 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{SA}}+\overrightarrow{\mathrm{SC}}=\overrightarrow{\mathrm{SB}}+\overrightarrow{\mathrm{SD}}$

Bài 2.36 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{MB}}+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}=\overrightarrow{0} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{NC}}=2\overrightarrow{\mathrm{DN}}$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ theo $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

Bài 2.37 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác BDA'.

a) Biểu diễn $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ theo $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}$

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng

Bài 2.38 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; −1; 3), B(1; 1; −1) và C(−1; 0; 2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Bài 2.39 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' và các điểm A(2; 3; 1), C(−1; 2; 3) và O'(1; −2; 2). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Bài 2.40 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(-2; 1; 2\right), \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(1; 1; -1\right)$

a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}-2\overrightarrow{\mathrm{b}}$

b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}$

c) Tính $\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$

Bài 2.41 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4; 2; −1), B(1; −1; 2) và C(0; −2; 3).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\overrightarrow{0}$

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Bài 2.42 trang 74 Toán 12 Tập 1: Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.