Giải bài tập Bài 2 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Cánh diều
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 2 trang 115 Toán 11 Tập 2. Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối. Toán 11 - Cánh diều
Đề bài:
Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a.
a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Do S.ABCD là hình chóp đều nên SA = SB = SC = SD = a.
Vì ABCD là hình vuông nên AC = BC và 
.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.
Mà AC = BD nên BD2 = AC2 = 2a2.
⦁ Xét ∆ASC có: SA2 + SC2 = a2 + a2 = 2a2 = AC2.
Nên theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ASC vuông tại S.
Mà SA = SC nên tam giác ASC vuông cân tại S.
⦁ Xét tam giác BSD có: SB2 + SD2 = a2 + a2 = 2a2 = BD2.
Nên theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác BSD vuông tại S.
Mà SB = SD nên tam giác BSD vuông cân tại S.
b) Do ABCD là hình vuông và O = AC ∩ BD nên O là trung điểm của AC và BD.
Xét ∆ASC vuông cân tại S có: SO là đường trung tuyến (do O là trung điểm của AC) nên cũng đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó SO ⊥ AC.
Xét ∆BSD vuông cân tại S có: SO là đường trung tuyến (do O là trung điểm của BD) nên cũng đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó SO ⊥ BD.
Ta có: SO ⊥ AC, SO ⊥ BD và AC ∩ BD = O trong (ABCD).
Do đó SO ⊥ (ABCD).
c) Vì SO ⊥ (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA trên (ABCD).
Suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng góc 
.
Lại có tam giác ASC là tam giác vuông cân tại S nên 
.
Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao