Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ | Cánh Diều

Bài 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(-1;2\right),\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(3;1\right),\overrightarrow{\mathrm{c}}=\left(2;-3\right)$ 

a) Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}-3\overrightarrow{\mathrm{c}}$

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{x}}$ sao cho $\overrightarrow{\mathrm{x}}+2\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}$

Bài 2 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(– 2; 3) ; B(4; 5); C(2; – 3).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Bài 3 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(2; 0); N(4; 2); P(1; 3).

a) Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

b) Trọng tâm hai tam giác ABC và MNP có trùng nhau không? Vì sao?

Bài 4 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4); B(– 1; 1); C(– 8; 2).

a) Tính số đo góc ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

b) Tính chu vi của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM.

Bài 5 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Cho ba điểm A(1; 1) ; B(4; 3) và C (6; – 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = 2AB.

Bài 6 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Chứng minh khẳng định sau:

Hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left({\mathrm{x}}_1;{\mathrm{y}}_1\right),\overrightarrow{\mathrm{v}}=\left({\mathrm{x}}_2;{\mathrm{y}}_2\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{v}}\ne \overrightarrow{0}\right)$ cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x₁ = kx₂ và y­₁ = ky₂.

Bài 7 trang 72 Toán lớp 10 Tập 2: Một vật đồng thời bị ba lực tác động: lực tác động thứ nhất có độ lớn là 1500 N, lực tác động thứ hai có độ lớn là 600 N, lực tác động thứ ba có độ lớn là 800 N. Các lực này được biểu diễn bằng những vectơ như Hình 23, với . Tính độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ (400; 50) đến thành phố B có tọa độ (100; 450) (Hình 17) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Người ta muốn biết vị trí (tọa độ) của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát t giờ (0 ≤ t ≤ 3).

Làm thế nào để xác định được tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm trên?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 18), cho hai vectơ  và .

a) Biểu diễn các vectơ theo hai vectơ  và .

b) Biểu diễn các vectơ (k ∈ ℝ) theo hai vectơ  và .

c) Tìm tọa độ các vectơ (k ∈ ℝ).

a) Cho . Tìm tọa độ của vectơ .

b) Cho . Tìm tọa độ của vectơ  sao cho .

Trong bài toán mở đầu, hãy tìm tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y­_B). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB (minh họa ở Hình 19).

a) Biểu diễn vectơ theo hai vectơ  và .

b) Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

Cho hai điểm A(2; 4) và M(5; 7).Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (minh họa ở Hình 20).

a) Biểu diễn vectơ theo ba vectơ  và .

b) Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.

Cho ba điểm A(–1; 1); B(1; 5); G(1; 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho  và  là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy.

a) Tính .

b) Cho . Tính tích vô hướng của .