Giải bài tập Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2 | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2. Bài 14. Phương trình mặt phẳng.. SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài:

Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2: Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Đáp án và cách giải chi tiết:

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên.

Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là a, các cạnh bên có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vì SO là đường cao của tam giác SOC nên $SO = \sqrt{{SC}^{2} - {OC}^{2}} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}$

Khi đó, ta có: O(0; 0; 0), $A (- \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0; 0), C (\frac{a \sqrt{2}}{2}; 0; 0), B (0; - \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0), D (0; \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0) và S (0; 0; \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}})$

Ta có $\vec{SC} = (\frac{a \sqrt{2}}{2}; 0; - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}); \vec{DC} = (\frac{a \sqrt{2}}{2}; - \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0); \vec{BC} = (\frac{a \sqrt{2}}{2}; \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0)$

Có $[\vec{SC}, \frac{\sqrt{2}}{a} \vec{DC}] = (|\begin{matrix} 0 & - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}} \\ - 1 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}} & \frac{a \sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} \frac{a \sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 & - 1 \end{matrix}|)$

$= (- \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}; - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}; - \frac{a \sqrt{2}}{2})$

$[\vec{SC}, \frac{\sqrt{2}}{a} \vec{BC}] = (|\begin{matrix} 0 & - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}} \\ 1 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}} & \frac{a \sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} \frac{a \sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}|)$

$= (\sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}; - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}; \frac{a \sqrt{2}}{2})$

Ta có mặt phẳng (SCD) nhận $\vec{n_{1}} = [\vec{SC}, \frac{\sqrt{2}}{a} \vec{DC}]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận $\vec{n_{2}} = [\vec{SC}, \frac{\sqrt{2}}{a} \vec{BC}]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vì $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = - (\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}) + (\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}) - \frac{a^{2}}{2} = - \frac{a^{2}}{2} \neq 0$

Do đó hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.

Nguồn: giaitoanhay.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Giải bài tập Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2 | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài:

Đáp án và cách giải chi tiết:

Bài tập liên quan:

Giải bài tập SGK Toán 12 - Kết nối tri thức