Giải bài tập Bài 3 trang 36 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

a) $y = 3 + \frac{1}{x}$

1. Tập xác định: $D = \mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y\text{'} = \frac{-1}{x^2}.$ Vì $y\text{'} < 0$ với mọi $x \ne 0$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ; 0\right) và \left(0; +\infty \right).$`

• Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{lim}y = \underset{x\to -\infty }{lim}\left(3 + \frac{1}{x}\right) = 3; \underset{x\to +\infty }{lim}y = \underset{x\to +\infty }{lim}\left(3 + \frac{1}{x}\right) = 3.$ Suy ra đường thẳng $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 0^{-}}{lim}y = \underset{x\to 0^{-}}{lim}\left(3 + \frac{1}{x}\right) = -\infty ; \underset{x\to 0^{+}}{lim}y = \underset{x\to 0^{+}}{lim}\left(3 + \frac{1}{x}\right) = +\infty$. Suy ra đường thẳng $x = 0$ (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có $y = 0 \iff 3 + \frac{1}{x} = 0 \iff x = -\frac{1}{3}$ nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm $\left(-\frac{1}{3}; 0\right).$

Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.

Ngoài ra, đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(-1; 2\right) và \left(1; 4\right).$

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left(0; 3\right)$. Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = 0 và y = 3$.

b) $y = \frac{x - 3}{1 - x}$

1. Tập xác định: $D = \mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}.$

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y\text{'} = \frac{-2}{{\left(1 -x\right)}^2}.$ Vì $y\text{'} < 0$ với mọi x ≠ 1 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ; 1\right) và \left(1; +\infty \right).$

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{lim}y = \underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x -3}{1 - x} = -1; \underset{x\to +\infty }{lim}y = \underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x -3}{1 - x} = -1$. Suy ra đường thẳng $y = -1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{lim}y = \underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x - 3}{1 - x} = -\infty ; \underset{x\to 1^{+}}{lim}y = \underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x - 3}{1 - x} = +\infty$. Suy ra đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có $x = 0 thì y = -3$ nên đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm $\left(0; -3\right).$

Ta có $y = 0 \iff \frac{x - 3}{1 - x} = 0 \iff x =3$ nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm $\left(3; 0\right).$

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left(1; -1\right).$ Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x =1 và y = -1.$