Giải bài tập Bài 4.42 trang 103 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Kết nối tri thức
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 4.42 trang 103 Toán 11 Tập 1. Bài tập cuối chương 4. Toán 11 - Kết nối tri thức
Đề bài:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA'.
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.
b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C. Tính tỉ số .
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi D là giao điểm của PM và BB'.
Vì D thuộc BB' nên D thuộc mặt phẳng (BCC'B'), N thuộc BC nên N thuộc mặt phẳng (BCC'B'), do đó trong mặt phẳng (BCC'B') nối D với N, đường thẳng DN cắt B'C tại K.
Vì D thuộc PM nên D thuộc mặt phẳng (MNP), do đó DN nằm trong mặt phẳng (MNP).
Mà K thuộc DN nên K thuộc mặt phẳng (MNP).
Do vậy, K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.
b) Xét tam giác A'AB có P, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', AB nên PM là đường trung bình của tam giác A'AB, suy ra PM // A'B hay PD // A'B.
Lại có A'P // BD (vì AA' // BB' do nó là các cạnh bên của hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C').
Do đó, tứ giác A'PDB là hình bình hành. Suy ra A'P = BD.
Mà P là trung điểm của AA' nên , suy ra .
Lại có AA' = BB' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác).
Từ đó suy ra .
Gọi E là trung điểm của B'C. Vì N là trung điểm của BC, do đó EN là đường trung bình của tam giác BB'C, suy ra EN // BB' và .
Từ (1) và (3) suy ra EN = BD (4).
Từ (2) và (4) suy ra .
Xét tam giác KDB' có EN // B'D (vì EN // BB'), theo định lí Thalés ta có:
.
Suy ra .
Mà EB' = EC (do E là trung điểm của B'C).
Do đó, . Suy ra K là trung điểm của EC. Khi đó .
Mà . Suy ra . Từ đó suy ra .
Vậy .
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao