Giải bài tập Hoạt động khám phá 4 trang 44 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Hoạt động khám phá 4 trang 44 Toán 11 Tập 2. Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm. Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho biết $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ và $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$ . Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x;

b) y = lnx.

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Có $y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ $y' (x_{0}) = \underset{x \to x_{0}}{l i m} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \underset{x \to x_{0}}{l i m} \frac{e^{x} - e^{x_{0}}}{x - x_{0}}$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{e^{x} - e^{x_{0}}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{e^{x_{0}} (e^{x - x_{0}} - 1)}{x - x_{0}} = e^{x_{0}}$ (do $\lim_{x \to x_{0}} \frac{e^{x - x_{0}} - 1}{x - x_{0}} = 1$ ).

Vì y'(x₀) = $e^{x_{0}}$ nên y' = (e^x)' = e^x.

b) Ta có $y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ $y' (x_{0}) = \underset{x \to x_{0}}{l i m} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = \underset{x \to x_{0}}{l i m} \frac{\ln x - \ln x_{0}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} (\frac{1}{x_{0}} \cdot \frac{\ln \frac{x}{x_{0}}}{\frac{x}{x_{0}} - 1})$ $= \underset{x \to x_{0}}{l i m} (\frac{1}{x_{0}} \cdot \frac{\ln \frac{x}{x_{0}}}{\frac{x}{x_{0}} - 1}) = \underset{x \to x_{0}}{l i m} \frac{1}{x_{0}} \cdot \underset{x \to x_{0}}{l i m} \frac{\ln (1 + (\frac{x}{x_{0}} - 1))}{\frac{x}{x_{0}} - 1} = \frac{1}{x_{0}}$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{x_{0}} \cdot \lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln (1 + (\frac{x}{x_{0}} - 1))}{\frac{x}{x_{0}} - 1} = \frac{1}{x_{0}}$

(do $\underset{x \to x_{0}}{l i m} \frac{\ln (1 + (\frac{x}{x_{0}} - 1))}{\frac{x}{x_{0}} - 1} = 1$ $\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln (1 + (\frac{x}{x_{0}} - 1))}{\frac{x}{x_{0}} - 1} = 1$ .

Do y'(x₀) = $\frac{1}{x_{0}}$ nên y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$ .

Nguồn: giaitoanhay.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Bài tập liên quan:

Bài 7 trang 49 Toán 11 Tập 2

Bài 5 trang 49 Toán 11 Tập 2

Bài 4 trang 49 Toán 11 Tập 2

Bài 3 trang 49 Toán 11 Tập 2

Bài 2 trang 49 Toán 11 Tập 2

Hoạt động khám phá 3 trang 44 Toán 11 Tập 2

Thực hành 4 trang 44 Toán 11 Tập 2

Thực hành 5 trang 44 Toán 11 Tập 2

Hoạt động khám phá 5 trang 45 Toán 11 Tập 2

Thực hành 6 trang 46 Toán 11 Tập 2

Hoạt động khám phá 6 trang 46 Toán 11 Tập 2

Thực hành 7 trang 47 Toán 11 Tập 2

Hoạt động khám phá 7 trang 47 Toán 11 Tập 2

Thực hành 8 trang 48 Toán 11 Tập 2

Vận dụng trang 48 Toán 11 Tập 2

Bài 1 trang 48 Toán 11 Tập 2

Bài 6 trang 49 Toán 11 Tập 2

Hoạt động khởi động trang 42 Toán 11 Tập 2

Hoạt động khám phá 1 trang 42 Toán 11 Tập 2

Thực hành 1 trang 43 Toán 11 Tập 2

Giải bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Xem tất cả Bài 1: Góc lượng giác Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác Bài 3: Các công thức lượng giác Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản Bài tập cuối chương 1

Xem tất cả Bài 1: Dãy số Bài 2: Cấp số cộng Bài 3: Cấp số nhân Bài tập cuối chương 2

Xem tất cả Bài 1: Giới hạn của dãy số Bài 2: Giới hạn của hàm số Bài 3: Hàm số liên tục Bài tập cuối chương 3

Xem tất cả Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Bài 2: Hai đường thẳng song song Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song Bài 4: Hai mặt phẳng song song Bài 5: Phép chiếu song song Bài tập cuối chương 4

Xem tất cả Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Bài tập cuối chương 5

Xem tất cả Bài 1: Tìm hiểu hàm số lượng giác bằng phần mềm GeoGebra Bài 2: Dùng công thức cấp số nhân để dự báo dân số

Xem tất cả Bài 1: Phép tính lũy thừa Bài 2: Phép tính lôgarit Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Bài tập cuối chương 6

Xem tất cả Bài 1: Đạo hàm Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm Bài tập cuối chương 7

Xem tất cả Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc Bài 4: Khoảng cách trong không gian Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện Bài tập cuối chương 8

Xem tất cả Bài 1: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất Bài tập cuối chương 9

Xem tất cả Bài 1: Vẽ hình khối bằng phần mềm GeoGebra. Làm kính 3D để quan sát ảnh nổi Bài 2: Ứng dụng lôgarit vào đo lường độ pH của dung dịch