Giải bài tập Bài 3 trang 125 Toán lớp 10 Tập 1 | Toán 10 - Chân trời sáng tạo

a) Cỡ mẫu n = 10 + 20 + 30 + 20 + 10 = 90.

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{10.(-2) + 20.(-1) + 30.0 + 20.1 + 10.2}{90} = 0.$

Phương sai mẫu số liệu là:

$S^2 = \frac{1}{90}\left[10.{(-2)}^2 + 20.{\left(-1\right)}^2 + 30.0^2 + 20.1^2 + 10.2^2\right] - 0^2 = \frac{4}{3}.$

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là:

$S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được:

– 2; – 2; – 2; – 2 ; – 2; – 2; – 2; – 2; – 2; – 2; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 2 – (– 2) = 4.

Vì cỡ mẫu là 90 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 0.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: – 2; – 2; – 2; – 2 ; – 2; – 2; – 2; – 2; – 2; – 2; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; – 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0. Do đó Q₁ = – 1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2. Do đó Q₃ = 1.

Khoảng tứ phân vị là ∆_Q = 1 – (– 1) = 2.

b) Số trung bình:  = 0,1 . 0 + 0,2 . 1 + 0,4 . 2 + 0,2 . 3 + 0,1 . 4 = 2.

Phương sai mẫu số liệu là:

S² = (0,1 . 0² + 0,2 . 1² + 0,4 . 2² + 0,2 . 3² + 0,1 . 4²) – 2² = 1,2.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là:

S = $\sqrt{S^2} = \sqrt{1,2} = \frac{\sqrt{30}}{5}.$

Giả sử cỡ mẫu là 10. Khi đó:

Tần số của giá trị 0 là 0,1 . 10 = 1.

Tần số của giá trị 1 là 0,2 . 10 = 2.

Tần số của giá trị 2 là 0,4 . 10 = 4.

Tần số của giá trị 3 là 0,2 . 10 = 2.

Tần số của giá trị 4 là 0,1 . 1 = 1.

Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 4.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 4 – 0 = 4.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 2.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0; 1; 1; 2; 2. Do đó Q₁ = 1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 2; 2; 3; 3; 4. Do đó Q₃ = 3.

Khoảng tứ phân vị là: ∆_Q = 3 – 1 = 2.