Giải bài tập Bài 1.43 trang 44 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

a) y = −x³ + 6x² – 9x + 12

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

+) Có y' = −3x² + 12x – 9; y' = 0 ⇔ −3x² + 12x – 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

+) Trên khoảng (1; 3), y' > 0 nên hàm số đồng biến

Trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = 8; Hàm số đạt cực đại tại x = 3 và y_CĐ = 12.

+) Giới hạn tại vô cực: 

$\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\left(-{\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+12\right)=+\infty ; \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(-{\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+12\right)=-\infty$

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 12).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 8); (3; 12).

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(2; 10).

b) $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

+) $\mathrm{y}\text{'}=\frac{2\left(\mathrm{x}+1\right)-\left(2\mathrm{x}-1\right)}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2}=\frac{3}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2}>0, \forall \mathrm{x}\ne -1$

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{\mathrm{x}\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}=+\infty ; \underset{\mathrm{x}\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}=-\infty$

Do đó x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{2-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}}=2; \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{2-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}}=2$

Do đó y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là (0; −1).

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là $\left(\frac{1}{2}; 0\right)$

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

c) $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

$\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}=\mathrm{x}-1-\frac{1}{\mathrm{x}-1}$

+) Có $\mathrm{y}\text{'}=1-\frac{1}{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}>0, \forall \mathrm{x}\ne 1$

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}=+\infty ; \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}=-\infty ; \underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{y}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}=+\infty$

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left[\mathrm{y}-\left(\mathrm{x}-1\right)\right]=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{\mathrm{x}-1}=0; \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\left[\mathrm{y}-\left(\mathrm{x}-1\right)\right]=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{-1}{\mathrm{x}-1}=0$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại (0; 0).

+) Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại (0; 0); (2; 0).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.