Giải bài tập Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1. Bài tập cuối chương I.. SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: $r = \frac{5 (12 - h)}{12} .$

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: $V (h) = \frac{25 πh {(12 - h)}^{2}}{144} .$

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Ta đặt tên các điểm như hình vẽ dưới đây:

Ta có $A' O' / / A O$ nên $\frac{S O'}{S O} = \frac{S A'}{S A} .$

Lại có $A' C / / S O$ nên $\frac{S A'}{S A} = \frac{O C}{O A} .$

Từ đó suy ra $\frac{S O'}{S O} = \frac{O C}{O A} .$

Mà $S O = 12 c m, O A = 5 c m, O C = r, S O' = S O - O O' = 12 - h .$

Do đó, $\frac{12 - h}{12} = \frac{r}{5} .$ Suy ra $r = \frac{5 (12 - h)}{12} .$

b) Thể tích của khối trụ là $V = {πr}^{2} h = π . {[\frac{5 (12 - h)}{12}]}^{2} . h = \frac{25 πh {(12 - h)}^{2}}{144} ({cm}^{3}) .$

Vậy thể tích khối trụ theo h là $V (h) = \frac{25 πh {(12 - h)}^{2}}{144} .$

c) Rõ ràng h phải thỏa mãn điều kiện $0 < h < 12 .$

Xét hàm số $V (h) = \frac{25 πh {(12 - h)}^{2}}{144}$ với $h \in (0; 12) .$

Ta có $V' (h) = \frac{25 π (12 - h) (12 - 3 h)}{144} .$

Trên khoảng $(0; 12),$ ta có $V' (h) = 0$ khi $h = 4 .$

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $(0; 12),$ hàm số $V (h)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{400 π}{9}$ tại $h = 4 .$

Vậy $h = 4 c m$ thì khối trụ có thể tích lớn nhất.

Nguồn: giaitoanhay.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Các công thức liên quan:

Công thức đạo hàm

Công thức đạo hàm hay và đầy đủ nhất, công thức đạo hàm tính nhanh, công thức đạo hàm hàm đa thức, hàm căn thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm loga, hàm hợp

Giải bài tập Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Đáp án và cách giải chi tiết:

Các công thức liên quan:

Công thức đạo hàm

Bài tập liên quan:

Giải bài tập SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo