Giải bài tập Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1. Bài tập cuối chương I.. SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} .$

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[2; 4] .$

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Xét hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} .$

1. Tập xác định: $D = ℝ \ \{1\} .$

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 1)}^{2}} .$ Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3 .$

Trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(3; + \infty), y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng $(- 1; 1)$ và $(1; 3), y' < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ và $y_{C T} = 10 .$

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ và $y_{C Đ} = 2 .$

Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x \to - \infty}{l i m} y = \underset{x \to - \infty}{l i m} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = - \infty; \underset{x \to + \infty}{l i m} y = \underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = + \infty .$

Ta có $a = \underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x (x - 1)} = 1$ và $b = \underset{x \to + \infty}{l i m} (\frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} - x) = \underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{5 x - 1}{x - 1} = 5 .$

Suy ra đường thẳng $y = x + 5$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x \to 1^{-}}{l i m} y = \underset{x \to 1^{-}}{l i m} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = - \infty; \underset{x \to 1^{+}}{l i m} y = \underset{x \to 1^{+}}{l i m} \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = + \infty$ . Suy ra đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1} = 0 \Leftrightarrow x = - 2 + \sqrt{5}$ hoặc $x = - 2 - \sqrt{5} .$

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $(- 2 - \sqrt{5}; 0)$ và điểm $(- 2 + \sqrt{5}; 0) .$

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm $(0; 1) .$

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I $(1; 6) .$

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = 1$ và $y = x + 5 .$

b) Xét hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1}$ với $x \in [2; 4] .$

Trên khoảng $(2; 4), y' = 0$ khi $x = 3 .$

Ta có $y (2) = 11; y (3) = 10; y (4) = \frac{31}{3} .$

Vậy $\underset{[2; 4]}{m a x} y = 11 t ạ i x = 2 v à \underset{[2; 4]}{m i n} y = 10 t ạ i x = 3 .$

Nguồn: giaitoanhay.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Các công thức liên quan:

Công thức đạo hàm

Công thức đạo hàm hay và đầy đủ nhất, công thức đạo hàm tính nhanh, công thức đạo hàm hàm đa thức, hàm căn thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm loga, hàm hợp

Giải bài tập Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Đáp án và cách giải chi tiết:

Các công thức liên quan:

Công thức đạo hàm

Bài tập liên quan:

Giải bài tập SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo