Giải bài tập Bài 4 trang 106 Toán 11 Tập 2 | Toán 11 - Cánh diều
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 4 trang 106 Toán 11 Tập 2. Bài 5: Khoảng cách. Toán 11 - Cánh diều
Đề bài:
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).
a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.
b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB).
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Do SA ⊥ (ABCD) và CD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ CD.
Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD.
Ta có: CD ⊥ SA, CD ⊥ AD và SA ∩ AD = A trong (SAD).
Suy ra CD ⊥ (SAD).
Mà SD ⊂ (SAD) nên CD ⊥ SD.
Suy ra d(S, CD) = SD.
Do SA ⊥ (ABCD) và AD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AD.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SAD vuông tại A (do SA ⊥ AD) có:
SD2 = SA2 + AD2 = a2 + a2 = 2a2.
Suy ra 
Do đó 
Vậy khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD bằng 
.
b) Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB.
Ta có: AD ⊥ SA (theo câu a), AD ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB).
Suy ra AD ⊥ (SAB).
Khi đó d(D, (SAB)) = AD = a.
Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng a.
c) Kẻ AH ⊥ SD (H ∈ SD).
Do CD ⊥ (SAD) (theo câu a) và AH ⊂ (SAD) nên CD ⊥ AH.
Ta có: AH ⊥ CD, AH ⊥ SD và CD ∩ SD = D trong (SCD).
Suy ra AH ⊥ (SCD).
Khi đó d(A, (SCD)) = AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAD vuông tại A, đường cao AH có:
Suy ra 
Do đó 
Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng 
.
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao