Giải bài tập Toán 12 Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian | Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp không cùng nằm trên một mặt của hình hộp với điểm B.

b) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

c) Tìm các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$.

Cho tứ diện OABC. Tính các vectơ:

a) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$;

b) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$.

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 120° và có độ lớn lần lượt là 10 N và 8 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 6 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C cắt nhau tại O. Cho biết AO = a. Tính theo a độ dài các vectơ:

a) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AA}}\text{'}$;

b) $\overrightarrow{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{D}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{A}}$.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O, O' lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD và A'B'C'D'; I là giao điểm của AC' và A'C. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{\mathrm{OA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}\text{'}}=4\overrightarrow{\mathrm{OO}\text{'}}$;

b) $\overrightarrow{\mathrm{DB}}+\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}=2\overrightarrow{\mathrm{DI}}$.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và cho biết $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{BAA}\text{'}}=\widehat{\mathrm{DAA}\text{'}}$ = 60°. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$;

b) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}.\overrightarrow{\mathrm{DC}}$;

c) $\overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được 3 km với một lực kéo có cường độ 2000 N và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc 30°. Tính công thực hiện bởi lực kéo nói trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của Jun).

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi x, y, z theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AC}\text{'}}$ với các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}$.

Chứng minh cos²x + cos²y + cos²_Z = 1.

Tính độ lớn của các lực căng trên mỗi sợi dây cáp trong Hình 16. Cho biết khối lượng xe là 1900 kg, gia tốc là 10 m/s², khung nâng có khối lượng 100 kg và có dạng hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = 8 m, BC = 12 m, SC = 12 m và SO vuông góc với (ABCD). Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của Newton.