Giải bài tập Bài 8 trang 86 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

a) Giá trị đại diện của nhóm $[5; 6)$là $5,5.$

Giá trị đại diện của nhóm $[6; 7)$là $6,5.$

Giá trị đại diện của nhóm $[7; 8)$ là $7,5.$

Giá trị đại diện của nhóm $[8; 9)$ là $8,5.$

Giá trị đại diện của nhóm $[9; 10)$ là $9,5.$

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

b)

• Xét mẫu số liệu của trường A:

Cỡ mẫu $n_A = 4 + 5 + 3 + 4 + 2 = 18.$

Gọi $x_1; x_2; \dots ; x_{18}$ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $x_1; \dots ; x_4 \in [5; 6), x_5; \dots ; x_9 \in [6; 7), x_{10}; x_{11}; x_{12} \in [7; 8),$

         $x_{13}; \dots ; x_{16} \in [8; 9), x_{17}; x_{18} \in [9; 10).$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_5 \in [6; 7).$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_1 = 6 + \frac{{\displaystyle \frac{18}{4}} - 4}{5}.\left(7 - 6\right) = 6,1.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{14} \in [8; 9).$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_3 = 8 + \frac{{\displaystyle \frac{3.18}{4}} - (4 + 5 + 3)}{4}.(9 - 8) = 8,375.$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${∆}_Q = Q_3 – Q_1 = 8,375 – 6,1 = 2,275.$

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Cỡ mẫu $n_B = 2 + 5 + 4 + 3 + 1 = 15.$

Gọi $x_1; x_2; \dots ; x_{15} là$ mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $x_1; x_2 \in [5; 6), x_3; \dots ; x_7 \in [6; 7), x_8; \dots ; x_{11} \in [7; 8),$

         $x_{12}; x_{13}; x_{14} \in [8; 9), x_{15} \in [9; 10).$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_4 \in [6; 7).$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_1^{\text{'}} = 6 + \frac{{\displaystyle \frac{15}{4}} - 2}{5}.\left(7 - 6\right) = 6,35.$

ứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{12} \in [8; 9).$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_3^{\text{'}} = 8 + \frac{{\displaystyle \frac{3.15}{4}} - \left(2 + 5 + 4\right)}{4}.\left(9 - 8\right) = \frac{97}{12}.$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${△}_Q^{\text{'}} = Q_3^{\text{'}} - Q_1^{\text{'}} = \frac{97}{12} - 6,35 = \frac{26}{15} \approx 1,73.$

Vì ${∆}_Q = 2,275 > {△}_Q^{\text{'}} \approx 1,73$nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

c)

• Xét mẫu số liệu của trường A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{ x } = \frac{4.5,5 + 5.6,5 + 3.7,5 + 4.8,5 + 2.9,5}{18} = \frac{65}{9}.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_A^2 = \frac{1}{18}\left[4.{\left(5,5\right)}^2 + 5.{\left(6,5\right)}^2 + 3.{\left(7,5\right)}^2 + 4.{\left(8,5\right)}^2 + 2.{\left(9,5\right)}^2\right] - {\left(\frac{65}{9}\right)}^2 = \frac{569}{324}.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_A = \sqrt{S_A^2} = \sqrt{\frac{569}{324}} \approx 1,33.$

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{ x }}_B = \frac{2.5,5 + 5.6,5 + 4.7,5 + 3.8,5 + 1.9,5}{15} = \frac{217}{30}.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_B^2 = \frac{1}{15}\left[2.{\left(5,5\right)}^2 + 5.{\left(6,5\right)}^2 + 4.{\left(7,5\right)}^2 + 3.{\left(8,5\right)}^2 + 1.{\left(9,5\right)}^2\right] - {\left(\frac{217}{30}\right)}^2 = \frac{284}{225}.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_B = \sqrt{S_B^2} = \sqrt{\frac{284}{225}} \approx 1,12.$

Vì $S_A \approx 1,33 > S_B \approx 1,12$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.