Giải bài tập Bài 6 trang 86 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

a) Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu $n_X = 8 + 10 + 13 + 10 + 9 = 50, n_Y = 4 + 12 + 17 + 14 + 3 = 50.$

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường X là:

${\overline{ x }}_X = \frac{8.6,5 + 10.7,5 + 13.8,5 + 10.9,5 + 9.10,5}{50} = 8,54.$

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường Y là:

${\overline{ x }}_Y = \frac{4.6,5 + 12.7,5 + 17.8,5 + 14.9,5 + 3.10 ,5}{50} = 8,5.$

Vì ${\overline{ x }}_X = 8,54 > {\overline{ x }}_Y = 8,5$ nên nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.

b)

Xét mẫu số liệu của học sinh trường X:

Gọi $x_1; x_2; \dots ; x_{50}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường X được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $x_1; \dots ; x_8 \in [6; 7), x_9; \dots ; x_{18} \in [7; 8), x_{19}; \dots ; x_{31} \in [8; 9),$

         $x_{32}; \dots ; x_{41} \in [9; 10), x_{42}; \dots ; x_{50} \in [10; 11).$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{13} \in [7; 8).$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

 $Q_1 = 7 + \frac{{\displaystyle \frac{50}{4}} - 8}{10}.\left(8 - 7\right) = 7,45.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{38} \in [9; 10).$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$Q_3 = 9 + \frac{{\displaystyle \frac{3.50}{4}} - \left(8 + 10 + 13\right)}{10}.\left(10 - 9\right) = 9,65.$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu

${∆}_Q = Q_3 – Q_1 = 9,65 – 7,45 = 2,2.$

• Xét mẫu số liệu của học sinh trường Y:

Gọi $y_1; y_2; \dots ; y_{50}$là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường Y được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $y_1; \dots ; y_4 \in [6; 7), y_5; \dots ; y_{16} \in [7; 8), y_{17}; \dots ; y_{33} \in [8; 9),$

         $y_{34}; \dots ; y_{47} \in [9; 10), y_{48}; y_{49}; y_{50} \in [10; 11).$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $y_{13} \in [7; 8).$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$Q_1^{\text{'}} = 7 + \frac{{\displaystyle \frac{50}{4}} - 4}{12}.\left(8 - 7\right) = \frac{185}{24}.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $y_{38} \in [9; 10).$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$Q_3^{\text{'}} = 9 + \frac{{\displaystyle \frac{3.50}{4}} - \left(4 + 12 + 17\right)}{14}.\left(10 - 9\right) = \frac{261}{28}.$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

${∆}_Q^{\text{'}} = Q_3^{\text{'}} – Q_1^{\text{'}} = \frac{261}{28} - \frac{185}{24}= \frac{271}{168} \approx 1,61.$

Vì ${∆}_Q = 2,2 > {△}_Q^{\text{'}} \approx 1,61$ nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

c)

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$S_X^2 = \frac{1}{50} [8.{(6,5)}^2 + 10.{(7,5)}^2+ 13.{(8,5)}^2 + 10.{(9,5)}^2 + 9.{(10,5)}^2] – {(8,54)}^2 = 1,7584.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$S_X = \sqrt{S_X^2} = \sqrt{1,7584} \approx 1,33.$

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$S_Y^2 = \frac{1}{50}\left[4.{\left(6,5\right)}^2 + 12.{\left(7,5\right)}^2 + 17.{\left(8,5\right)}^2 + 14.{\left(9,5\right)}^2 + 3.{\left(10,5\right)}^2\right] - {\left(8,5\right)}^2 = 1,08.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$S_Y = \sqrt{S_Y^2} = \sqrt{1,08} \approx 1,04.$

Vì $S_X \approx 1,33 > S_Y \approx 1,04$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.