Giải bài tập Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

a) Cỡ mẫu $n = 20.$

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Gọi $x_1; x_2; \dots ; x_{20}$ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $x_1 \in [130; 160), x_2 \in [160; 190), x_3 \in [190; 220),$

         $x_4; \dots ; x_{11} \in [220; 250), x_{12}; \dots ; x_{18} \in [250; 280), x_{19}; x_{20} \in [280; 310).$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2} (x_{5 }+ x_6) \in [220; 250).$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_1 = 220 + \frac{{\displaystyle \frac{20}{4}} - \left(1 + 1 + 1\right)}{8}.(250-220) = 227,5.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là$\frac{1}{2} (x_{15} + x_{16}) \in [250; 280).$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_3 = 250 + \frac{{\displaystyle \frac{3.20}{4}} - \left(1 + 1 + 1 + 8\right)}{7}.(280-250) = \frac{1870}{7}.$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${∆}_Q = Q_3 – Q_1 = \frac{1870}{7} - 227,5 \approx 39,64.$

Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Gọi $y_1; y_2; \dots ; y_{20}$là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $y_1 \in [160; 190), y_2; y_3 \in [190; 220), y_4; \dots ; y_7 \in [220; 250),$

         $y_8; \dots ; y_{17} \in [250; 280), y_{18}; y_{19}; y_{20} \in [280; 310).$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2} (y_5 + y_6) \in [220; 250).$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_1^{\text{'}} = 220 + \frac{{\displaystyle \frac{20}{4}} - \left(1 + 2\right)}{4}.\left(250 - 220\right) = 235$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2} (y_{15} + y_{16}) \in [250; 280).$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q }_3^{\text{'}}= 250 + \frac{{\displaystyle \frac{3.20}{4}} - \left(1 + 2 + 4\right)}{10}.\left(280 - 250\right) = 274$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${△}_Q^{\text{'}} = Q_3^{\text{'}} - Q_1^{\text{'}} = 274 - 235 = 39.$

Vì ${△}_Q \approx 39,64 > {△}_Q^{\text{'}} = 39$ nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

b) Ta có bảng sau:

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{ x }}_N = \frac{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}{20} = 242,5.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N^2 = \frac{1}{20}\left(1.{145}^2 + 1.{175}^2 + 1.{205}^2 + 8.{235}^2 + 7.{265}^2 + 2.{295}^2\right) - {\left(242,5\right)}^2 = 1248,75.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N = \sqrt{S_N^2} = \sqrt{1248,75} \approx 35,34.$

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{ x }}_Q = \frac{1.175 + 2.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}{20} = 253.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_Q^2 = \frac{1}{20}\left(1.{175}^2 + 2.{205}^2 + 4.{235}^2 + 10.{265}^2 + 3.{295}^2\right) - {253}^2 = 936.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_Q = \sqrt{S_Q^2} = \sqrt{936} \cong 30,59.$

Vì $S_N \approx 35,54 > S_N \approx 30,59$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.