Giải bài tập Bài 8 trang 121 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Cánh diều
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 8 trang 121 Toán 11 Tập 1. Bài tập cuối chương 4. Toán 11 - Cánh diều
Đề bài:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho
a) Chứng minh rằng C’M // (A’BM’).
b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’).
c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’).
d) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt cạnh CC’ tại điểm I. Tính
Đáp án và cách giải chi tiết:
a)
Trong mp(BCC’B’) có tứ giác BCC’B’ là hình bình hành nên BC // B’C’ và BC = B’C’.
Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ nên BM = C’M’ =
Tứ giác BMC’M’ có BM // C’M’ (do BC // B’C’) và BM = C’M’ nên BMC’M’ là hình bình hành
Do đó C’M // M’B, mà M’B ⊂ (A’BM’) nên C’M // (A’BM’).
b)
Trong mp(A’BM’), xét A’BM’ có nên G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)
Mà M’B ⊂ (BCC’B’) nên G’K // (BCC’B’).
c)
Trong mp(BCC’B’), tứ giác CMM’C’ có C’M’ // CM và C’M’ = CM =
Do đó tứ giác CMM’C’ là hình bình hành nên M’M // C’C và M’M = C’C.
Mà A’A // C’C và A’A = C’C nên A’A // M’M và A’A = M’M.
Khi đó AMM’A’ là hình bình hành nên A’M’ // AM và A’M’ = AM.
Lại có nên A’G’ = AG, do đó G’M’ = GM.
Xét tứ giác GMM’G’ có: G’M’ = GM (do A’M’ // AM) và G’M’ = GM.
Do đó GMM’G’ là hình bình hành nên G’G // M’M
Lại có M’M ⊂ (BCC’B’) nên G’G // (BCC’B’).
Ta có: G’K // (BCC’B’);
G’G // (BCC’B’);
G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)
Do đó (GG’K) // ((BCC’B’).
d)
Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.
Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.
Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);
JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).
Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).
Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).
Khi đó CC’ cắt (α) tại I.
Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.
Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có:
Suy ra
Theo bài, nên do đó hay
Vậy
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao