Giải bài tập Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Cánh diều

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1. Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Toán 11 - Cánh diều

Đề bài:

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: $\frac{GM}{GA} = \frac{GN}{GB} = \frac{1}{3}$ .

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và $\frac{GP}{GC} = \frac{GQ}{GD} = \frac{1}{3}$ .

Đáp án và cách giải chi tiết:

+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.

Do đó M ∈ BI.

Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).

+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.

Do đó N ∈ AI.

Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

b) Trong $∆$ BCD có M là trọng tâm tam giác nên $\frac{MI}{BI} = \frac{1}{3}$

Trong $∆$ ACD có N là trọng tâm tam giác nên $\frac{NI}{AI} = \frac{1}{3}$

Xét $∆$ ABI có: $\frac{NI}{AI} = \frac{MI}{BI} = \frac{1}{3}$ nên MN // AB (theo định lí Thalès đảo).

Xét $∆$ ABI và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{MN}{AB} = \frac{NI}{AI} = \frac{MI}{BI} = \frac{1}{3}$

Xét $∆$ ABG và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{GM}{GA} = \frac{GN}{GB} = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{3}$

• Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: $\frac{G^{'} M}{G^{'} A} = \frac{G^{'} P}{G^{'} C} = \frac{P M}{A C} = \frac{1}{3}$ $\frac{G' M}{G' A} = \frac{G' P}{G' C} = \frac{PM}{AC} = \frac{1}{3} và \frac{G'' M}{G'' A} = \frac{G'' Q}{G'' D} = \frac{QM}{AD} = \frac{1}{3}$

Do đó $\frac{GM}{GA} = \frac{G' M}{G' A} = \frac{G'' M}{G'' A} = \frac{1}{3}$

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

• Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).

Ta có: Q là trọng tâm DABC nên $\frac{AQ}{AE} = \frac{2}{3}$

Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).

Ta có: P là trọng tâm $∆$ ABD nên $\frac{AP}{AF} = \frac{2}{3}$

+) Trong mặt phẳng (AEF), có: $\frac{AQ}{AE} = \frac{AP}{AF} = \frac{2}{3}$ nên PQ // EF (định lí Thalès đảo)

Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).

Suy ra PQ // CD

Theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{GP}{GC} = \frac{GQ}{GD} = \frac{QP}{CD} = \frac{QP}{2 EF} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Nguồn: giaitoanhay.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Giải bài tập Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Toán 11 - Cánh diều

Đề bài:

Đáp án và cách giải chi tiết:

Bài tập liên quan:

Giải bài tập Toán 11 - Cánh diều