Giải bài tập Bài 5 trang 43 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Cánh diều

a) $y=2x^3-3x^2+1$

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$$$.

• $y\text{'}=6x^2-6x$;

  $y\text{'}=0 \iff 6x^2–6x=0 \iff x=0 hoặc x=1$.

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng $(–\infty ; 0) và (1; +\infty )$; nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.  

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 1; đạt cực tiểu tại x = 1, y_CT = 0.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;1)$.

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $2x^3-3x^2+1=0$ ta được $x=-\frac{1}{2} hoặc x = 1$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm $(-\frac{1}{2};0), (1;0)$.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm $$\begin{gathered} (-\frac{1}{2};0), (1;0), (0;1), (-1;-4) va (\frac{1}{2};\frac{1}{2 \\ }) \end{gathered}$$

Vậy đồ thị hàm số $y=2x^3-3x^2+1$ được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$.

b) $y=-x^3+3x^2-1$

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty$.

• $y\text{'}=-3x^2+6x$;

$y\text{'}=0 \iff – 3x^2+6x=0 \iff x=0 hoặc x=2$.

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;2)$; nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ; 0) và (2; +\infty )$.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y_CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = – 1.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;-1)$.

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $-x^3+3x^2-1=0$, ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-1; 3), (0; -1), (1; 1), (2; 3) và (3; -1).$.

Vậy đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-1$ được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$(1;1)$.

c) Ta có $y={(x-2)}^3+4=x^3-6x^2+12x-8+4=x^3-6x^2+12x-4$.

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$.

• $y\text{'}=3x-12x+12=3{(x-2)}^2$;

$y\text{'}\ge 0$ với mọi x ∈ ℝ.

$y\text{'}=0$ khi x = 2.

• Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;-4)$

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $x^3-6x^2+12x-4=0$, ta thấy phương trình có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0; -4), (1; 3), (2; 4) và (3; 5).$.

Vậy đồ thị hàm số $y={(x-2)}^3+4$ được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(2; 4).

d) $y=-x^3+3x^2-3x+2$

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty$

• $y\text{'}=-3x^2 + 6x-3=-3{(x-1)}^2 \le 0 với mọi x \in \mathrm{ℝ}$;

  $y\text{'}=0$ khi x = 1.

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Hàm số không có cực trị.  

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;2)$.

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $-x^3+3x^2-3x+2=0$ ta được x = 2.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $(2;0)$.  

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0; 2), (2; 0) và (1; 1).$

Vậy đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-3x+2$ được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$(1;1)$.

e) $y=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+2x+1$

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực:$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$

• $y\text{'}=x^2+2x+2={(x+1)}^2+1>0$ với mọi x ∈ ℝ;

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Hàm số không có cực trị.  

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;1)$

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $13x3+x2+2x+1=0$ ta thấy có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm$(0; 1), (-1 ;-\frac{1}{3})$.

Vậy đồ thị hàm số$y=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+2x+1$ được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$(-1;-\frac{1}{3})$.

g) $y=-x^3-3x$

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty ; \underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty$

• $y\text{'}=-3x^2-3=-3(x^2+1)<0$ với mọi x ∈ ℝ;

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng$(-\infty ;+\infty )$

Hàm số không có cực trị. 

3) Đồ thị

• Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O$(0;0)$.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0;0), (-1; 4) và (1;-4).$

Vậy đồ thị hàm số $y=-x^3-3x$ được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm O$(0;0)$.