Giải bài tập Bài 27 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2 | SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 27 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2. Bài tập ôn tập cuối năm. SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Đề bài:

Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.

a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và V = $\frac{4 R^{2} x^{2}}{3 (x - 2 R)}$ , trong đó x là chiều cao của hình chóp.

b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

Hướng dẫn:

a) Mặt phẳng đi qua đường cao SH của hình chóp và trung điểm M của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân SMN và cắt hình cầu theo hình tròn tâm I bán kính R nội tiếp tam giác SMN.

Có thể thể tích khối chóp theo x và α = $\hat{S N H}$ $\hat{S N H}$ . Sau đó sử dụng đẳng thức x = R + IS để tìm hệ thức giữa R, x và α.

Đáp án và cách giải chi tiết:

Xét tam giác vuông SHN, ta có: HN = SH.cotα = xcotα.

MN = 2HN = 2xcotα.

Thể tích khối chóp là V = $\frac{1}{3} M N^{2} . S H = \frac{4}{3} x^{3} \cot^{2} α .$

Xét tam giác SHN có $\hat{H S N}$ $\hat{H S N}$ = 90° − α.

Trong tam giác IPH vuông tại P, có SI = $\frac{I P}{\sin (90 ° - α)} = \frac{R}{\cos α}$ $\frac{I P}{\sin (90 ° - α)} = \frac{R}{\cos α} .$

Ta có: SH = HI + IS = R + $\frac{R}{\cos α}$

⇒ cosα = $\frac{R}{x - R}$ .

Suy ra sin²α = 1 – cos²α = 1 − $\frac{R^{2}}{{(x - R)}^{2}}$ $\frac{R^{2}}{{(x - R)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 R x}{{(x - R)}^{2}}$ $\frac{x^{2} - 2 R x}{{(x - R)}^{2}}$ ;

cot²α = $\frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{R^{2}}{x (x - 2 R)}$ .

Từ đó ta được V = $\frac{4 R^{2} x^{2}}{3 (x - 2 R)}$ .

b) Xét hàm số f(x) = $\frac{4 R^{2} x^{2}}{3 (x - 2 R)}$ với x > 2R.

Ta có: f'(x) = $\frac{12 R^{2} x^{2} - 48 R^{3} x}{9 {(x - 2 R)}^{2}} = \frac{12 R^{2} x (x - 4 R)}{9 {(x - 2 R)}^{2}}$ ;

f'(x) = 0 ⇔ $\frac{12 R^{2} x (x - 4 R)}{9 {(x - 2 R)}^{2}}$ = 0 ⇔ x = 4R.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy $\min_{x > 2 R} V = \frac{32}{3} R^{3}$ khi x = 4R.

Nguồn: giaitoanhay.com

Tổng số đánh giá: 0

Xếp hạng: 5 / 5 sao

Giải bài tập Bài 27 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2 | SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Đề bài:

Đáp án và cách giải chi tiết:

Bài tập liên quan:

Giải bài tập SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)