Giải bài tập Bài 25 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2 | SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 25 trang 52 SBT Toán 12 Tập 2. Bài tập ôn tập cuối năm. SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Đề bài:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = .

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: y =  =

       ⇒y' = −1 + 

          y' = 0 ⇔  = 0 ⇔ 1 – x2 = 0 ⇔ x = ±1.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).

Điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị hàm số lần lượt là (−1; 1) và (1; −3).

Các giới hạn:

limxy=+;limx+y=.

 = = 0. Vậy đường thẳng y = −x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

 limx0y=+; limx0+y=. Vậy đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

b)

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2+x+1x và đường thẳng d: y = −2x + m  là nghiệm của phương trình:

x2+x+1x = −2x + m

⇔ x2 – (1 + m)x – 1 = 0 (x ≠ 0). (*)

Phương trình (*) có ac = −1 < 0 nên luôn có hai nghiệm trái dấu.

Vậy với mọi m, đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm A(x1; −2x1 + m) và

B(x2; −2x2 + m) thuộc hai nhánh của đồ thị, ở đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Ta có:

AB2 = (x1 – x2)2 + [(−2x1 + m) – (−2x2 + m)]2

        = (x1 – x2)2 + 4(x1 – x2)2

        = 5(x1 – x2)2

        = 5[(x1 + x2)2 – 4x1x2].

Theo định lí Viète ta có: x1+x2=m+1x1x2=1.

⇒ AB2 = 5[(m + 1)2 + 4] = 5(m + 1)2 + 20 ≥ 20 ∀m.

Vậy AB ≥ 25.

Dấu “=” xảy ra khi m = −1.

Lúc này phương trình (1) là x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1.

Vậy đường thẳng d: y = −2x – 1 đi qua hai điểm cực trị A(−1; 1) và B(1; −3).

Đồ thị hàm số như sau:

Nguồn: giaitoanhay.com


Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Giải bài tập SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)