Giải bài tập Bài 24 trang 51 SBT Toán 12 Tập 2 | SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 24 trang 51 SBT Toán 12 Tập 2. Bài tập ôn tập cuối năm. SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Đề bài:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ . Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.

c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Chiều biến thiên: y' = $\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$ < 0, ∀x ≠ 1.

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (−∞; 1) và (1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: $\lim_{x \to - \infty} y = 2$ $\underset{x \to - \infty}{l i m} y = 2; \underset{x \to + \infty}{l i m} y = 2$ $\lim_{x \to + \infty} y = 2$ . Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giới hạn vô cực: $\lim_{x \to 1^{-}} y = - \infty$ $\underset{x \to 1^{-}}{l i m} y = - \infty; \underset{x \to 1 +}{l i m} y = + \infty$ $\lim_{x \to 1^{+}} y = + \infty$ . Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

b) Đường thẳng thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H): y = $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ = −x + m có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Ta có: $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ = −x + m

⇔ 2x − 1 = (x – 1)(−x + m).

⇔ x²+ (1 – m)x + m – 1 = 0 (x ≠ 1)

⇔ $\{\begin{cases} Δ = {(1 - m)}^{2} - 4 (m - 1) > 0 \\ 1 + 1 - m + m - 1 \neq 0 \end{cases}$

⇔ m² – 6m + 5 > 0

⇔ m ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞).

Lấy điểm M $(t; \frac{2 t - 1}{t - 1})$ bất kì thuộc đồ thị (H) với t ≠ 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại tiếp điểm M là

∆: y = y'(t)(x – t) + y(t) hay y = $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (x - t) + \frac{2 t - 1}{t - 1}$ $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (x - t) + \frac{2 t - 1}{t - 1}$ .

Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận đứng tại A $(1; \frac{2 t}{t - 1})$ . Ta có: IA = $\frac{2}{|t - 1|}$ $\frac{2}{| t - 1 |}$ .

Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận ngang tại điểm B(2t – 1; 2).

Ta có IB = 2|t - 1| .

Vậy diện tích tam giác IAB là

$S_{Δ I A B} = \frac{1}{2} I A . I B = \frac{1}{2} . \frac{2}{|t - 1|} .2 |t - 1| = 2$ (đvdt).

Nguồn: giaitoanhay.com

Tổng số đánh giá: 0

Xếp hạng: 5 / 5 sao

Giải bài tập Bài 24 trang 51 SBT Toán 12 Tập 2 | SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Đề bài:

Đáp án và cách giải chi tiết:

Bài tập liên quan:

Giải bài tập SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)