Giải bài tập Bài 1.66 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1 | SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 1.66 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1. Bài tập cuối chương 1. SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Đề bài:

Cho hàm số $y = \frac{m x^{2} + (2 m - 1) x - 1}{x + 2}$ với m là tham số.

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho với m = 1.

c) Giả sử ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại điểm M ∈ (H) bất kì. Chứng minh rằng nếu ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại A và B thì M luôn là trung điểm của đoạn AB.

Đáp án và cách giải chi tiết:

a) Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Ta có: $y' = \frac{m x^{2} + 4 m x + 4 m - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

y' = 0 ⇔ mx² + 4mx + 4m – 1 = 0

Xét ∆' = 4m² – m(4m – 1) = 4m² – 4m² + m = m.

Với m > 0 thì ta được y' = 0 là phương trình bâc hai có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0.

b) Với m = 1, ta có: y = $\frac{x^{2} + x - 1}{x + 2}$

Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Ta có: $y' = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

y' = 0 ⇔ x² + 4x + 3 = 0 ⇔ x = −3 hoặc x = −1.

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty; \lim_{x \to - \infty} y = - \infty .$

$\lim_{x \to - 2^{+}} y = + \infty; \lim_{x \to - 2^{-}} y = - \infty .$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −2 làm tiệm cận đứng.

Ta có: y = $\frac{x^{2} + x - 1}{x + 2}$ = x – 1 + $\frac{1}{x + 2} .$

Suy ra $\lim_{x \to + \infty} [y - (x - 1)] = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x + 2} = 0$

Do đó, đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số như sau:

c) Lấy M $(t; \frac{t^{2} + t - 1}{t + 2})$ ∈ (H) bất kì.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại M là:

d: y = y'(t)(x – t) + y(t)

y = $\frac{t^{2} + 4 t + 3}{{(t + 2)}^{2}} (x - t) + \frac{t^{2} + t - 1}{t + 2}$

Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng tại điểm A $(- 2; - \frac{3 t + 4}{t + 2}) .$

Tiếp tuyến d cắt tiệm cận xiên tại điểm B(2t + 2; 2t + 1).

Ta có: $\{\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 2 t = 2 x_{M} \\ y_{A} + y_{B} = (2 t + 1) - \frac{3 t + 4}{t + 2} = \frac{2 t^{2} + 2 t - 2}{t + 2} = 2 y_{M} \end{cases}$

Vậy M là trung điểm của đoạn AB.

Nguồn: giaitoanhay.com

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Giải bài tập Bài 1.66 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1 | SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)

Đề bài:

Đáp án và cách giải chi tiết:

Bài tập liên quan:

Giải bài tập SBT Toán 12 - Kết nối tri thức (SBT)