Giải bài tập Hoạt động 3 trang 5 Toán 12 Tập 2 | SGK Toán 12 - Cánh diều
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Hoạt động 3 trang 5 Toán 12 Tập 2. Bài 1. Nguyên hàm.. SGK Toán 12 - Cánh diều
Đề bài:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0.
a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?
b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?
c) Nêu nhận xét về 
và 
.
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nên F'(x) = f(x).
Suy ra kF'(x) = kf(x). Vì k là hằng số thực khác 0 nên kF'(x) = (kF(x))'.
Do đó, (kF(x))' = kf(x). Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Vì G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K nên G'(x) = kf(x).
Lại có G(x) = kH(x), lấy đạo hàm hai vế ta được G'(x) = kH'(x).
Từ đó suy ra kH'(x) = kf(x), tức là H'(x) = f(x). Vậy H(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
c) Từ câu a, ta có 
(1).
Lại có 
, suy ra 
.
Vì C1 tùy ý thuộc ℝ và k ≠ 0 nên C = kC1 tùy ý thuộc ℝ.
Do đó, 
(2).
Từ (1) và (2) suy ra 
.
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao