Giải bài tập Bài 14 trang 105 Toán 9 Tập 1 | Toán 9 - Chân trời sáng tạo
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 14 trang 105 Toán 9 Tập 1. Bài tập cuối chương 5. Toán 9 - Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Trên đường thẳng xy, lấy lần lượt ba điểm A, B, C sao cho AB > BC. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính BC.
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại B.
b) Gọi H là trung điểm của AC. Vẽ dây DE của (O) vuông góc với AC tại H. Chứng minh tứ giác ADCE là hình thoi.
c) DC cắt đường tròn (O’) tại F. Chứng minh rằng ba điểm F, B, E thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng HF là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Ta có OO’ = OB + BO’ nên đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại B.
b) Xét ∆ODE có OD = OE (cùng là bán kính của đường tròn (O) đường kính AB) nên ∆ODE cân tại O. Do đó đường cao OH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác hay H là trung điểm của DE.
Xét tứ giác ADCE có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường nên ADCE là hình bình hành.
Lại có DE ⊥ AC tại H nên hình bình hành ADCE là hình thoi.
c) Xét đường tròn (O) có AB là đường kính, 
là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên 
, do đó AD ⊥ DB.
Lại có AD // CE (do ADCE là hình thoi) nên DB ⊥ CE.
Xét ∆CDE có DB, CH là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại B (do DB ⊥ CE và CH ⊥ DE) nên B là trực tâm của ∆CDE. Suy ra EF ⊥ CD. (1)
Xét đường tròn (O’) có BC là đường kính, 
là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên 
, do đó BF ⊥ CD. (2)
Từ (1) và (2) ta có EF, BF là hai đường thẳng cùng đi qua điểm F và vuông góc với CD nên là hai đường thẳng trùng nhau, hay ba điểm E, B, F thẳng hàng.
d) Vì BF ⊥ CD nên 
, ∆DEF vuông tại F có FH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên FH = 
DE, mà H là trung điểm của DE nên HE = DE, do đó FH = HE.
Xét ∆HEF có FH = HE nên ∆HEF cân tại H. Do đó 
(hai góc ở đáy bằng nhau).
Xét ∆O’BF có O’B = O’F (cùng là bán kính của đường tròn (O’) đường kính BC) nên ∆O’BF cân tại O’. Suy ra 
(hai góc ở đáy bằng nhau).
Mà 
(đối đỉnh) nên 
.
Ta có: 
(do ∆HBE vuông tại H).
Hay 
nên HF ⊥ O’F tại F.
Xét đường tròn (O’) có HF ⊥ O’F tại F thuộc đường tròn nên HF là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao