Giải bài tập Bài 11 trang 82 Toán 9 Tập 2 | Toán 9 - Chân trời sáng tạo
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 11 trang 82 Toán 9 Tập 2. Bài tập cuối chương 9. Toán 9 - Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Lần lượt vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn (O') đường kính HC.
a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').
b) Đường tròn (O) cắt AB tại E, đường tròn (O') cắt AC tại F. Chứng minh rằng tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
c) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến đường tròn (O) và đồng thời là tiếp tuyến đường tròn (O').
d) Đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt EF tại N. Cho biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính diện tích tam giác ANF.
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Đường tròn (O) có bán kính OH, đường tròn (O') có bán kính O'H.
Vì OO' = OH + HO' nên (O) và (O') tiếp xúc ngoài.
b) Ta có 
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Suy ra HE ⊥ AB hay 
Tương tự, 
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O')).
Suy ra HF ⊥ AC hay 
Tứ giác AEHF có 
Do đó, tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
c) Gọi I là giao điểm AH và EF, ta có
IA = IE = IH = IF (tính chất hình chữ nhật).
• Xét ∆IEO và ∆IHO có: OI là cạnh chung; IE = IH; OE = OH.
Do đó ∆IEO = ∆IHO (c.c.c)
Suy ra 
(hai góc tương ứng).
Vì 
và E thuộc đường tròn (O) nên EF là tiếp tuyến của (O). (1)
• Xét ∆IFO' và ∆IHO' có: O'I là cạnh chung; IF = IH; O'F = O'H.
Do đó ∆IFO' = ∆IHO' (c.c.c).
Suy ra 
(hai góc tương ứng).
Vì 
và E thuộc đường tròn (O) nên EF là tiếp tuyến của (O). (2)
Từ (1) và (2) suy ra EF là tiếp tuyến của (O) và đồng thời là tiếp tuyến của (O').
d) Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến.
Suy ra AM = BM = CM = 
BC.
Do đó ∆O'FC cân tại O' (vì O'F = O'C) suy ra 
Từ (3) và (4) suy ra 
Mà 
là hai góc đồng vị nên AM // O'F).
Mặt khác O'F ⊥ EF, suy ra AM ⊥ EF tại N.
Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
BC2 = AB2 + AC2.
Suy ra 
(cm).
Diện tích tam giác ABC là:
Suy ra 
(cm).
Do đó EF = AH = 4,8 cm.
• Vì ∆AHF ᔕ ∆ACH (g.g) nên 
Suy ra 
(cm).
• Vì ∆AEF ᔕ ∆NAF (g.g) nên 
Suy ra 
(cm).
Xét tam giác AFN vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
AF2 = AN2 + NF2.
Suy ra 
(cm).
Diện tích tam giác AFN là:
(cm2).
Vậy diện tích tam giác ANF khoảng 2 cm2.
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao