Giải bài tập Bài 5 trang 74 Toán 9 Tập 2 | Toán 9 - Cánh diều
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Bài 5 trang 74 Toán 9 Tập 2. Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác. Toán 9 - Cánh diều
Đề bài:
Bài 5 trang 74 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:
a) DB ⊥ AB và CD ⊥ AC;
b) Tứ giác BHCD là hình bình hành;
c) AC2 + BH2 = 4R2;
d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.
Đáp án và cách giải chi tiết:
a) Vì góc ABD, góc ACD đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (do AD là đường kính của (O)) nên 
.
Do đó DB ⊥ AB và CD ⊥ AC.
b) Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC và CH ⊥ AB.
Lại có CD ⊥ AC và DB ⊥ AB (câu a) nên BH // CD và CH // BD.
Xét tứ giác BHCD có BH // CD và CH // BD nên BHCD là hình bình hành.
c) Vì BHCD là hình bình hành nên BH = CD.
Xét ∆ACD vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có:
AD2 = AC2 + CD2
Suy ra (2R)2 = AC2 + BH2
Hay AC2 + BH2 = 4R2.
d) Vì BHCD là hình bình hành nên hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD, do đó ba điểm H, M, D thẳng hàng.
Lại có AD là đường kính của đường tròn (O) nên O là trung điểm của AD.
Xét ∆AHD có O, M lần lượt là trung điểm của AB, HD nên OM là đường trung bình của tam giác,
Do đó 
hay 
.
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao