Giải bài tập Bài 3 trang 83 Toán 12 Tập 1 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

$R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).$

Cỡ mẫu $n = 20.$

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

$42\hspace{1em}43,4\hspace{1em}43,4\hspace{1em}46,5\hspace{1em}46,7\hspace{1em}46,8\hspace{1em}47,5\hspace{1em}47,7\hspace{1em}48,1\hspace{1em}48,4$

Do đó, $Q_1 = \frac{46,7 + 46,8}{2} = 46,75.$

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

$50,8\hspace{1em}52,1\hspace{1em}52,7\hspace{1em}53,9\hspace{1em}54,8\hspace{1em}55,6\hspace{1em}57,5\hspace{1em}59,6\hspace{1em}60,3\hspace{1em}61,1$

Do đó, $Q_3 = \frac{54,8 + 55,6}{2} = 55,2.$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

${△}_Q = Q_3 - Q_1 = 55,2 - 46,75 = 8,45.$

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{ x } = \frac{42 + 43,4 + 43,4 + 46,5 + ... + 60,3 + 61,1}{20} = 50,945.$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$S^2 = \frac{1}{20}\left[{42}^2 + {\left(43,4\right)}^2 + {\left(43,4\right)}^2 + ... + {\left(60,3\right)}^2 + {\left(61,1\right)}^2\right] - {\left(50,945\right)}^2 \approx 32,2.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

$S = \sqrt{S^2} \approx \sqrt{32,2} \approx 5,675.$

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$R^{\text{'}} =62 – 42 = 20 (km/h).$

Gọi $x_1; x_2; \dots ; x_{20}$ là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $x_1; x_2; x_3 \in [42; 46), x_4; \dots ; x_{10} \in [46; 50), x_{11}; \dots ; x_{14} \in [50; 54),$

    $\hspace{1em}{x}_{15}; \dots ; x_{17} \in [54; 58), x_{18}; x_{19}; x_{20} \in [58; 62).$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2} \left(x_5 + x_6\right) \in [46; 50).$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_1^{\text{'}} = 46 + \frac{{\displaystyle \frac{20}{4}} - 3}{7}.\left(50 - 46\right) = \frac{330}{7}.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15} + x_{16}\right) \in [54; 58).$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_3^{\text{'}} = 54 + \frac{{\displaystyle \frac{3.20}{4}} - \left(3 + 7 + 4\right)}{3}.\left(58 - 54\right) = \frac{166}{3}.$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${△}_Q^{\text{'}} = Q_3^{\text{'}} - Q_1^{\text{'}} = \frac{166}{3} - \frac{330}{7} = \frac{172}{21} \approx 8,19.$

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{ x }}^{\text{'}} = \frac{3.44 + 7.48 + 4.52 + 3.56 + 3.60}{20} = 51,2$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{{\text{'}}^2} = \frac{1}{20} \left(3.{44}^2 + 7.{48}^2 + 4.{52}^2 + 3.{56}^2 + 3.{60}^2\right) - {\left(51,2\right)}^2 = 26,56.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{\text{'}} = \sqrt{S^{{\text{'}}^2}} = \sqrt{26,56} = \frac{2\sqrt{166}}{5} \approx 5,154.$