Ứng dụng tích phân tìm thể tích | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

1. Thể tích vật thể 

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b, S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x .  Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: .

2. Thể tích khối tròn xoay

a) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng xx=a, x=b quanh trục Ox:

b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), trục hoành và hai đường thẳng y=c, y=d quanh trục Oy: 

c) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x) (cùng nằm một phía so với Ox và hai đường thẳng  x=a, x=b quanh trục Ox: 

3. Ví dụ 

VD1: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Giải: Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: .

VD2: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng là một tam giác đều cạnh là

Giải: ;   .

VD3:  Trong không gian, cắt vật thể bởi hai mặt phẳng và . Biết một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ cắt theo thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng . Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng bằng

Giải: 

Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng: (đvtt)

VD4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường . Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là

Giải: