Công thức xác định độ dài của đường cong dựa vào tích phân | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Ta cần tính độ dài đường cong của hàm số y = f(x) giới hạn bởi hai đường thẳng x = a và x = b tức là độ dài của cung AB với A(a; f(a)) và B(b; f(b)) trên đồ thị hàm số y = f(x).

Ý tưởng chia đoạn thẳng AB thành n đoạn thẳng nhỏ với n rất lớn thì độ dài của từng đoạn nhỏ sẽ xấp xỉ đến độ dài của cung tròn nhỏ, tức là tổng độ dài của n đoạn thẳng nhỏ này sẽ xấp xỉ với độ dài cung AB.

Trên đoạn [a; b] xét điểm , xét  với Δx đủ nhỏ khi đó độ dài đoạn thẳng nối hai điểm ta coi là độ dài của cung nhỏ nối hai điểm , do Δx đủ nhỏ nên ta có thể coi đoạn thẳng nối hai điểm này là tiếp tuyến tại điểm của đồ thị hàm số y = f(x). Như vậy độ dài đoạn thẳng nối hai điểm.

Áp dụng: Một nhà sản xuất tấm lợp kim loại bằng tôn có chiều rộng 28 inch và cao 2 inch, bề mặt tấm lợp được dàn bằng máy theo chương trình máy tính lập trình trước mà tập hợp các điểm trên bề mặt tấm lợp đều thuộc đồ thị của hàm số , từ một tấm phôi kim loại phẳng có chiều dài w. Tính chiều dài cần thiết của tấm phôi kim loại để chế tạo được tấm lợp theo yêu cầu trên, biết rằng độ dài của đường cong y = f(x) trên đoạn [a; b] được xác định bởi công thức .

Ví dụ 1: Một con diều hâu bay 15m/s tại độ cao 180 m tình cờ đánh rơi con mồi. Con mồi rơi theo quỹ đạo là đường parabol có phương trình cho đến khi nó chạm đất, trong đó y là độ cao tính từ mặt đất và x là khoảng cách dịch chuyển theo phương ngang. Tính quãng đường di chuyển của con mồi từ lúc rơi đến khi chạm đất, biết độ dài đường cong y = f(x) trên đoạn [a; b] xác định bởi công thức .

A. 209 (mét).

B. 201 (mét).

C. 210 (mét).

D. 290 (mét).

Lời giải

Con mồi chậm đất khi y = 0 ⇔ ⇔ x = 90 (x ≥ 0).

Quãng đường con mồi di chuyển từ lúc rơi đến lúc chạm đất là 

≈ 209 (mét).

Chọn đáp án A. 

Câu 21: Luồng gió thổi ổn định con diều về hướng tây, chiều cao của con diều phụ thuộc vào vị trí tính theo phương ngang từ x = 0 đến x = 80m được cho bởi phương trình . Tìm quãng đường con diều.

A. 122,776 (mét).

B. 122,767 (mét).

C. 122,677 (mét).

D. 122,711 (mét).

Lời giải

Quãng đường con diều là .

Chọn đáp án A.