Giải bài tập Hoạt động khám phá 1 trang 12 Toán 12 Tập 2 | SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Hướng dẫn giải chi tiết từng bước bài tập Hoạt động khám phá 1 trang 12 Toán 12 Tập 2. Bài 2. Tích phân.. SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.
a) Tính S(3).
b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.
c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).
d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).
Đáp án và cách giải chi tiết:
a)
Gọi A(1; 0), B(3; 0), C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.
Khi đó C(3; 4), D(1; 2).
Ta có S(3) là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy bé AD = 2; đáy lớn BC = 4 và đường cao AB = 2.
Do đó 
.
b)
Tương tự như câu a, ta có A(1; 0), B(x; 0), C(x; x + 1), D(1; 2).
Ta có S(x) là diện tích hình thang ABCD với đáy bé AD = 2, đáy lớn BC = x + 1 và đường cao AB = x – 1.
Do đó 
, x ≥ 1.
c) Có 
Do đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).
d) Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên
.
Do đó 
.
Suy ra 
Để tính S(3), ta cần tìm nguyên hàm F(x) của f(x) và tính S(3) = F(3) – F(1).
Nguồn: giaitoanhay.com
Tổng số đánh giá:
Xếp hạng: / 5 sao