Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện | SGK Toán 12 - Cánh diều

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

.

Trong đó là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a; BC = 4a; SA = 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. .

B. R = 6a.

C. .

D. .

Lời giải

Ta có .

Vậy .

Chọn đáp án A.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Khối tứ diện vuông OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc có .

Ví dụ 1: Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Biết rằng SA = 24, AB = 6, AC = 8. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho là

A. 676π.

B. .

C. .

D. 169π.

Lời giải

Áp dụng công thức cho chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hoặc đặc biệt ở đây là tứ diện vuông đỉnh A ta có

.

Chọn đáp án A.

Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

.

Trong đó là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên.

Đặc biệt:

*Khối lập phương cạnh a có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là .

*Khối hộp chữ nhật có kích thước a, b, c có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là .

Ví dụ 1: Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. .

B. a = 2R.

C. .

D. .

Lời giải

Ta có . Vậy .

Chọn đáp án C.

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng .

Khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng , khi đó .

Áp dụng cho khối tứ diện gần đều ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp là .

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = AA' = 2a, AC = a, . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC'B' bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải 

Ta có trong đó AA' = 2a và .

Vậy .

Chọn đáp án D.

Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy  trong đó  là bán kính ngoại tiếp đáy; a, x tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

Hoặc có thể sử dụng công thức , trong đó là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và a tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAD đều cạnh  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Ta có .

Chọn đáp án B.

Công thức 6: Khối chóp đều hoặc khối chóp có độ dài các cạnh bên bằng nhau có , trong đó cb là độ dài cạnh bên và h là chiều cao khối chóp, được xác định bởi .

Ví dụ 1: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều cạnh .

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Ta có .

Chọn đáp án C.