Mặt cầu trong không gian | SGK Toán 12 - Cánh diều

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1) Lập phương trình mặt cầu:
• Để lập phương trình mặt cầu ta cần tìm tâm $I(a;b;c)$ và bán kính R Khi đó phương trình mặt cầu có dạng:
• Ngoài ra để lập phương trình mặt cầu ta có thể tìm các hệ số trong phương trình: , với tâm $I(a;b;c)$, bán kính
• Một mặt cầu được hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính hoặc biết đường kính.
2) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và mặt phẳng là hình chiếu của I lên mặt phẳng $(\alpha ).$
•  thì $(\alpha )$ và mặt cầu $(I)$ không giao nhau.
•  thì $(\alpha )$ và mặt cầu $(I)$ tiếp xúc nhau tại H
•  thì $(\alpha )$ và mặt cầu $(I)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn tâm H, bán kính
3) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:
Cho mặt cầu tâm $I$, bán kính $R$ và đường thẳng là hình chiếu của I lên mặt phẳng $\mathrm{\Delta }.$
•  thì $\mathrm{\Delta }$ và mặt cầu $(I)$ không giao nhau.
•  thì $\mathrm{\Delta }$ và mặt cầu $(I)$ tiếp xúc nhau tại $H.$ Hay $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến của mặt cầu $(I).$
•  thì $\mathrm{\Delta }$ và mặt cầu $(I)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B và H là trung điểm của dây cung $AB$, do đó:

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(0;0;-2)$ và đường thẳng . Tính khoảng cách từ A đến $\mathrm{\Delta }.$ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt $\mathrm{\Delta }$ tại hai điểm B và C sao cho $BC=8.$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua  và có  là VTCP.

Gọi H là hình chiếu của A lên $\mathrm{\Delta }$ thì $AH=3$ và $H$ là trung điểm của $BC$ nên$BH=4.$ Vậy bán kính mặt cầu là
Nên phương trình mặt cầu là

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có phương trình: và mặt phẳng  Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, bán kính bằng $1$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P).$

Gọi $(S)$ là mặt cầu cần tìm, $I$ là tâm.
Phương trình tham số đường thẳng  Vì  
Ta có $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ nên:
• phương trình mặt cầu
• suy ra phương trình mặt cầu

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc $Oxyz$ cho $I(1;2;-2)$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y+z+5=0.$
1. Lập phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I$ sao cho giao của $(S)$ với mặt phẳng $(P)$ là đường tròn $(C)$ có chu vi bằng $8\pi .$
2. Chứng minh rằng mặt cầu $(S)$ nói trong phần 1 tiếp xúc với đường thẳng
3. Lập phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và tiếp xúc với $(S).$

Giải

1. Gọi $R$, $r$ lần lượt là bán kính của mặt cầu $(S)$ và đường tròn $(C).$
Ta có:  và  nên
Vậy phương trình mặt cầu
2. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có là VTCP và đi qua .
Suy ra
Vậy đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với mặt cầu $(S).$
Cách khác:
Phương trình tham số của , thay vào phương trình mặt cầu $(S)$, ta được:
Suy ra mặt cầu $(S)$ và $\mathrm{\Delta }$ giao nhau tại một điểm
Vậy đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $M.$
3. Vì mặt phẳng $(Q)$ chứa $\mathrm{\Delta }$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên $M$ là tiếp điểm của mặt phẳng $(Q)$ và mặt cầu $(S).$
Do đó $(Q)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và nhận  làm VTPT.
Vậy phương trình mặt phẳng

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz:$
1. Lập phương trình mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $M(1;-5;2)$ và qua đường tròn $(C)$ là giao của mặt phẳng $(\alpha ):2x+2y-z+9=0$ và mặt cầu
2. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa  sao cho giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-2y+2z-1=0$ là đường tròn có bán kính $r=1.$

Giải
1.Vì mặt cầu $(S)$ đi qua đường tròn $(C)$ nên phương trình $(S)$ có dạng:   
Vì
Vậy phương trình mặt cầu $(S):$
2. Đường thẳng d đi qua  và có  là VTCP.
Phương trình của $(P)$ có dạng:
Hay
Trong đó và
Mặt cầu $(S)$ có tâm , bán kính $R=2.$
Theo giả thiết, ta suy ra
Do đó:    
• $b=-c$ ta chọn
•  ta chọn

Ví dụ 5. Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ biết:
1. $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau có phương trình: ,
2. $(P)$ chứa hai đường thẳng song song có phương trình: ,
3. $(P)$ chứa đường thẳng  và cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính bằng

Giải

1. Đường thẳng  qua $M_1(0;-1;-1)$ và
Đường thẳng  qua $M_2(-2;2;0)$ và
Cặp véc tơ chỉ phương của $(P)$ là  và  nên một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là
Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng  và  là  
2. Đường thẳng  qua  và
Cặp véc tơ chỉ phương của $(P)$ là và  nên một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là
Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng và  là

3. Vì $(P)$ chứa đường thẳng  nên $(P)$ đi qua hai điểm thuộc  là điểm  và
Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M_1$ có dạng
Vì $(P)$ qua  nên $c=2a-3b.$
Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng nên
Do đó
 
Nếu a=2b thì chọn  ta có nên phương trình mặt phẳng
Nếu  thì chọn $b=221$ ta có nên phương trình mặt phẳng
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là: và