I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1.Định nghĩa

-Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng . Trong đó a, b, c là những số cho trước với .

-Nghiệm của phương trình  được gọi là ngiệm của tam thức bậc hai.

- và theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

	hay f(X) cùng dấu với a,
	hay f(X) cùng dấu với a,
(trong trái ngoài cùng)
	cùng dấu với a              0           trái dấu với a             0          cùng dấu với a

3. Nhận xét

Cho tam thực bậc hai , ta có các trường hợp sau

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1. Dấu của tam thức bậc hai

Phương pháp: Dựa vào định lý về dấu của tam thức bậc hai.

Đối với đa thức bậc cao P(x) ta làm như sau:

1) Phân tích đa thức P(x) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).

2) Lập bảng xét dấu của P(x). Từ đó suy ra dấu của P(x).

Đối với phân thức (trong đó P(x), Q(x) là các đa thức) ta làm như sau

1) Phân tích đa thức P(x), Q(x) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).

2) Lập bảng xét dấu của P(x) và Q(x). Từ đó suy ra dấu của .

Ví dụ:  Xét dấu của các tam thức sau

a)            b) . 

Lời giải.

a) Ta có và . Suy ra .

b) Ta có .

Bảng xét dấu

Suy ra và .

Dạng 2. Bất phương trình bậc hai

1. Định nghĩa. Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng f(x)>0, f(x)<0, , .

Trong đó f(x) là một tam thức bậc hai.

2. Cách giải. Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

3. Ứng dụng. Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau

a)                                b)

Giải

a) Ta có

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

b) Ta có

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

Dạng 3. Bài toán tham số liên quan đến tam thức bậc hai

Ví dụ:  Tìm để các phương trình sau có nghiệm.

a)                           b)

Giải

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy với thì phương trình có nghiệm.

b) 

Với m=-1, phương trình trở thành . Suy ra m=-1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy với thì phương trình có nghiệm.