Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz và bài tập áp dụng | Toán 11 - Chân trời sáng tạo

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$ có phương trình: $d_1:\{\begin{array}{l}x=x_1+a_{1}t\\ y=y_1+b_{1}t\\ z=z_1+c_{1}t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=x_2+a_2{t}^{\prime }\\ y=y_2+b_2{t}^{\prime }\\ z=z_2+c_2{t}^{\prime }\end{array}$ $\left(t;t^{\prime }\in R\right).$ Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$ theo một trong các cách sau:

Cách 1:

+ Bước 1: Xác định các vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{a}}_1$ của $d_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$ của $d_2.$
+ Bước 2: Xác định các điểm $M_1\in d_1$, $M_2\in d_2.$
+ Bước 3: Lúc đó .

Cách 2:

+ Bước 1: Gọi $H\in d_1$, $K\in d_2$ (lúc này $H$, $K$ có toạ độ phụ thuộc ẩn $t$, $t^{\prime }$).
+ Bước 2: Xác định $H$, $K$ dựa vào:
$\{\begin{array}{l}HK\mathrm{\perp }{d}_1\\ HK\mathrm{\perp }{d}_2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{HK}.{\overrightarrow{a}}_1=0\\ \overrightarrow{HK}.{\overrightarrow{a}}_2=0\end{array}.$
+ Bước 3: Lúc đó: $d\left(d_1;d_2\right)=HK.$
Nhận xét: Trong nhiều bài toán yêu cầu viết phương trình đường vuông góc chung thì nên sử dụng cách 2.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz·, tính khoảng cách d từ giữa hai đường thẳng ,

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Kiểm tra được và chéo nhau.

Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Ta có và

Gọi ,

HK là đoạn vuông góc chung của và

.

Cách 2: (Sử dụng công thức).

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Chọn ,

Lúc đó:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz·, gọi M,N là các điểm bất kì lần lượt thuộc và .Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Kiểm tra được và chéo nhau. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN là khoảng cách giữa hai đường thẳng và

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Chọn ,

Lúc đó:

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ,

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Kiểm tra được và chéo nhau.Gọi HK là đoạn vuông góc chung của và => mặt cầu cần tìm là mặt cầu có đường kính HK

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Ta có và

Gọi ,

HK là đoạn vuông góc chung của và

.

Mặt cầu cần tìm có tâm là trung điểm HK, bán kính có phương trình:

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng và .Tính tổng S=a+b

A.  S=2

B. S=-2

C. S=4

D. S=-4

Lời giải:

Kiểm tra được  và  chéo nhau.

Kiểm tra được và chéo nhau.

Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Ta có và

Gọi ,

HK là đoạn vuông góc chung của và

.

Đường vuông góc chung có vectơ chỉ phương dạng , từ giả thiết suy ra a=1, b=1

Cách 2:

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Do là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung cOX·a hai đường thẳng và suy ra:

Vậy a=1, b=1

Chọn đáp án A.