Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức
Dưới đây là công thức Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức
Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức
Với các số thực dương 
ta luôn có 
. Dấu bằng đạt tại 
.
Ví dụ 1: Cho hàm số 
, có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1 có hệ số góc nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
bằng
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Lời giải
Hệ số góc của tiếp tuyến là
đạt giá trị nhỏ nhất tại 
. Theo giả thiết có 
.
Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:
.
Dấu bằng đạt tại 
.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Cho các số thực x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 1,33.
B. 1,94.
C. 3,89.
D. 2,67.
Lời giải
Ta đánh giá: 
.
Trong đó k là một hằng số dương được chọn sau, khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
bằng 2k.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:
.
Vậy hằng số k cần tìm là nghiệm dương của phương trình 
.
Do vậy chọn đáp án C.
Các công thức liên quan:
Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)
Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa Việt Nam gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa Việt Nam gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)
Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa việt nam gọi là bất đẳng thức Côsi)
Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa việt nam gọi là bất đẳng thức Côsi)