3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân | SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

CÔNG THỨC 1: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Khi đường thẳng y = mx + n cắt parabol  tại hai điểm phân biệt, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường đã cho

Xét phương trình hoành độ giao điểm: .

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong parabol và đường thẳng xác định bởi công thức

.

Ví dụ áp dụng: Xét hai điểm A, B phân biệt trên parabol (P): sao cho . Giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Gọi A(a; ); B(b; ).

Phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B là .

Phương trình hoành độ giao điểm: .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB là .

Vì\ .

Do đó .

Chọn đáp án A.

Câu 57: Cho parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d: y = a (0 < a < 4). Xét parabol có đỉnh thuộc đường thẳng d và đi qua hai điểm A, B. Gọi  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và đường thẳng d; là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành. Biết rằng . Giá trị của  bằng

A. 96

B. 64

C. 72

D. 32

Lời giải

Có .

Có qua các điểm A(-2; 0); B(2; 0); I(0; a) .

Vậy .

Vậy .

Chọn đáp án B.

CÔNG THỨC 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG CONG BẬC BA VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Khi đường thẳng y = mx + n cắt đường cong bậc ba tại ba điểm phân biệt và hình phẳng giới hạn bởi hai đường này gồm phần phía trên và phía dưới đường thẳng có diện tích bằng nhau khi và chỉ khi điểm uốn  của đường cong bậc ba thuộc đường thẳng y = mx + n.

CÔNG THỨC 3: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG CONG TRÙNG PHƯƠNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Khi đường thẳng y = m cắt đường cong trùng phương  tại bốn điểm phân biệt và hình phẳng giới hạn bởi hai đường này gồm phần phía trên và phía dưới đường thẳng có diện tích bằng nhau khi và chỉ khi .

Chứng minh. Xét phương trình hoành độ giao điểm: (1).

Đặt . Khi phương trình này có 2 nghiệm dương phân biệt thì (1) có bốn nghiệm phân biệt là .

Quan sát đồ thị suy ra yêu cầu bài toán tương đương với: .

Biến đổi đưa về phương trình .

Mặt khác .

Suy ra .